通过优化算法使得 loss 函数梯度下降平稳且快，从而达到快速训练出好的模型的效果。

2.1 Mini-batch 梯度下降（Mini-batch gradient descent ）

在没有提出 Mini-batch 梯度下降算法之前，都是在巨大的数据集上直接训练（整个巨大的数据集直接作为一个 batch，进行 batch 梯度下降），这就导致模型训练速度很慢，使得深度学习在之前难以发挥重大作用。

而 mini-batch 梯度下降法具体思想是将整个大数据集划分为 n 个 mini-batch 样本数据集，一个 epoch 里分别对这个 n 个 mini-batch 样本数据集进行 n 次迭代，求出每个 mini-batch 的梯度。具体细节如下：

batch 梯度下降法：使用向量化，能有效地对所有 m 个样本进行计算，允许你处理整个训练集，
而无需某个明确的公式。把训练样本放到巨大的矩阵 X 当中去，。Y 也是如此，。𝑌 的维数是，Y 的维数是，使用向量化来快速处理所有 m 个样本。

mini-batch 梯度下降法：若 m 很大的话，比如 500 万甚至是 5000 万或者更大的数，则用 batch 梯度下降法来训练、处理数据，速度会很慢。因此可以把训练集分割为小一点的子集训练，这些子集被取名为 mini-batch，假设每一个子集中只有 1000 个样本，那么把其中的 𝑦 (1) 到 𝑦 (1000) 取出来，将其称为第一个子训练集，也叫做 mini-batch，然后你再取出接下来的 1000 个样本，从 𝑦 (1001) 到 𝑦 (2000) ，然后再取 1000 个样本，以此类推。

其具体的原理或做法如下图所示：

其中，同样使用向量化去几乎同时处理 1000 个样本。

batch vs mini-batch： 使用 batch 梯度下降法，一次遍历训练集只能让你做一个梯度下降，使用 mini-batch 梯度下降法，一次遍历训练集，能让你做 5000 个梯度下降。

2.2 理解 mini-batch 梯度下降法（Understanding mini-batch gradient descent ）

batch 梯度下降法：每次迭代你都需要历遍整个训练集，可以预期每次迭代成本
都会下降，所以如果成本函数 J 是迭代次数的一个函数，它应该会随着每次迭代而减少，如会下降，所以如果成本函数 𝐾 是迭代次数的一个函数，它应该会随着每次迭代而减少，如
果 J 在某次迭代中增加了，那肯定出了问题，也许你的学习率太大。
**
mini-batch 梯度下降法：如果你作出成本函数在整个过程中的图，则并不是每次迭
代都是下降的，特别是在每次迭代中，你要处理的是 X^ {t} 和 Y ^{t} ，如果要作出成本函数 J^ {t} 的图，而 J^ {t} 只和 X^ {t} ，Y ^{t} 有关，也就是每次迭代下你都在训练不同的样本集或者说训练不同的 mini-batch。
注：没有每次迭代都下降是不要紧的，但走势应该向下。

mini-batch 的大小等于 𝑛，其实就是 batch 梯度下降法（缺点：样本数量巨大的时候，要处理整个数据集，单次迭代耗时太长）；mini-batch 大小为 1，就有了新的算法，叫做随机梯度下降法（失去所有向量化带给你的加速，因为一次性只处理了一个训练样本，这样效率过于低下）；因此一般的 mini-batch 大小为 64 到 512，考虑到电脑内存设置和使用的方式，如果 mini-batch 大小是 2 的 n 次方，代码会运行地快一些。

需要注意的是在你的 mini-batch 中，要确保 X^ {t} 和 Y ^{t} 要符合 CPU/GPU 内存，这取决
于你的应用方向以及训练集的大小。

2.3 指数加权平均数（Exponentially weighted averages ）

除了 batch 梯度下降法和 mini-batch 梯度下降法，还有一些更高效的梯度下降优化算法，这些都会使用到指数加权平均这一概念。

使用公式来计算每日的加权平均温度值，β=0.9 的话则得到红色曲线。

注意，在计算时可视 v_t 大概是 1/(1−β) 的每日温度，如果 β 是 0.9，则可以将每日温度 v_t 看作是十天的平均值，也就是红线部分。

β = 0.98，即 β 较大时，相当于平均了更多天的温度，所以指数加权平均值适应地更缓慢一些，为绿线部分，这个曲线，波动更小，更加平坦，缺点是曲线进一步右移，因为现在平均的温度值更多，要平均更多的值，指数加权平均公式在温度变化时，适应地更缓慢一些，所以会出现一定延迟，；若 β = 0.5，则相当于平均了两天的温度，如黄色曲线，会有更多的噪声，有可能出现异常值，但是这个曲线能够更快适应温度变化。

总结：指数加权平均数经常被使用，再说一次，它在统计学中被称为指数加权移动平均值，
我们就简称为指数加权平均数。这个参数（β）也是一个需要调整的超参数。

2.4 理解指数加权平均数（Understanding exponentially weighted averages

所以，这是一个加和并平均。有指数和加权,所以叫指数加权平均.

从 0.1 开始，到 0.1 × 0.9，到 0.1 × (0.9) 2 ，以此类推，所以就有了这个指数衰减函数。

注意：实际上，β=0.9，ε=1-β=0.1，而,大约是 0.34，0.35，换句话说,10 天后曲线高度下降到 1/3,相当于峰值的 1/e.

因此,若是梯度下降算法中,具体做法是先初始化 v𝜃 = 0(v 相当于要更新的 w 或 b)，然后每一天，拿到第 t 天的数据，把 v 更新为 v:= βv𝜃 + (1 − β)𝜃_t 。
**梯度下降时更新 w 和 b 使用指数加权平均数的好处:**它占用极少内存，电脑内存中只占用一行数字而已，然后把最新数据代入公式，不断覆盖就可以了.

2.5 指 数 加 权 平 均 的 偏 差 修 正 （ Bias correction in exponentially weighted averages

计算指数加权平均数，你还需要知道一个专业概念，叫做偏差修正,可以让(梯度的)平均数运算更准确.

在上一个视频中，这个（红色）曲线对应 β 的值为 0.9，这个（绿色）曲线对应的 β=0.98，
如果你执行公式，在 β 等于 0.98 的时候，得到的并不是绿色曲线，而是紫色曲线，你可以注意到紫色曲线的起点较低，我们来看看怎么处理.

可以看到偏差主要在估测初期，所以计算时不用 v*t 而是用,t 就是现在的天数,则能使得估计变得更好\更准确,特别对于估计初期很有效.

2.6 动量梯度下降法（Gradient descent with Momentum

后续所说的这些梯度下降优化算法都用到 mini-batch 思想和指数加权平均这一概念,而具体的操作细节不同.

在纵轴上，你希望学习慢一点，因为你不想要这些摆动，但是在横轴上，你希望加快学习，你希望快速从左向右移，移向最小值，移向红点。所以就有了动量梯度下降法.它 batch 或 mini-batch 下降法训练快很多.


公式:
先计算 v*dW 和 v_db:
然后重新更新权重:,这样就可以减缓梯度下降的幅度。

动量梯度下降法由来:
可以理解为如果你要最小化碗状函数,想象你从山上往下滚的一个球，这些微分项 dW 和 db 提供了加速度，Momentum 项相当于速度。而因为 β 稍小于 1，表现出一些摩擦力，所以球不会无限加速下去，所以不像梯度下降法，每一步都独立于之前的步骤，你的球可以向下滚，获得动量，可以从碗向下加速获得动量。

2.7 RMSprop

全称是 root mean square prop 算法，它也可以加速梯度下降.

记得在横轴方向或者在例子中的 W 方向，我们希望学习速度快，而在垂直方向，也
就是例子中的 b 方向，我们希望减缓纵轴上的摆动，所以有了 S_dW 和 S_db ，我们希望 S_dW 会相对较小，所以我们要除以一个较小的数，而希望 S_db 又较大，所以这里我们要除以较大的数字，这样就可以减缓纵轴上的变化。

2.8 Adam 优化算法(Adam optimization algorithm)

Adam 优化算法基本上就是将 Momentum 和 RMSprop 结合在一起.

Adam 里面同样使用了偏差修正,为了避免除以很小的数,几乎为零,在分母上加上一项 ε=1e10-8.

Adam 算法超参数值选择

2.9 学习率 衰减(Learning rate decay)

加快学习算法的一个办法就是随时间慢慢减少学习率，我们将之称为学习率衰减。

学习率衰减,即慢慢减少 α 的本质在于，在学习初期，你能承受较大的步伐，但当开始收敛的时候，小一些的学习率能让你步伐小一些,如绿线部分。

学习率衰减方法/公式:

其中,decay-rate 为衰减率;epoch−num 为当前 epoch 数,k 为某常熟,t 为 mini-batch 的数字.

2.10 局部最优的问题(The problem of local optima)

在深度学习领域,在高维度空间函数中,想要得到局部最优几乎不可能,因为如果你在 2 万维空间中，那么想要得到局部最优，所有的 2 万个方向都需要是这样，但发生的机率也许很小，也许是 2^−20000; 事实上，如果你要创建一个神经网络，通常梯度为零的点并不是这个图中的局部最优点，实际上成本函数的零梯度点，通常是鞍点。

如果局部最优不是问题，那么问题是什么？结果是平稳段会减缓学习，平稳段是一块区域，其中导数长时间接近于 0，如果你在此处，梯度会从曲面从从上向下下降，因为梯度等于或接近 0，曲面很平坦，你得花上很长时间慢慢抵达平稳段的这个点，因为左边或右边的随机扰动，我换个笔墨颜色，大家看得清楚一些，然后你的算法能够走出平稳段（红色笔）。

**总结:**所以此次视频的要点是，

• 第一点,首先你不太可能困在极差的局部最优中，条件是你在训练较大的神经网络，存在大量参数，并且成本函数 J 被定义在较高的维度空间。
• 第二点，平稳段是一个问题，这样使得学习十分缓慢，这也是像 Momentum 或是 RMSprop，Adam 这样的算法，能够加速学习算法的地方。在这些情况下，更成熟的优化算法，如 Adam 算法，能够加快速度，让你尽早往下走出平稳段。

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